Urodził się we Wrocławiu, a dorastał w Izraelu, gdzie ukończył studia na Akademii Muzycznej w Tel Avivie z dyplomami z kompozycji, fortepianu i dyrygentury. Studia dyrygenckie kontynuował u Pierra Dervaux (Paryż), Hansa Swarowsky’ego (Wiedeń) Franco Ferrary (Siena).

W 1971 roku został laureatem I nagrody w Konkursie Herberta von Karajana, a także otrzymał Złoty Medal w Konkursie Cantelli (Mediolan). W 2012 został uhonorowany Teatralną Nagrodę Muzyczną im. Jan Kiepury w kategorii „najlepszy dyrygent”. W roku 2013 Akademia Muzyczna im. Karola Lipińskiego we Wrocławiu przyznała mu tytuł Doktora Honoris Causa, honorując twórczy wkład i szczególne zasługi dla rozwoju sztuki muzycznej, życia artystycznego oraz promocji muzyki polskiej. W czerwcu 2017 został odznaczony Złotym Medalem „Zasłużony kulturze Gloria Artis".

Pracował jako dyrektor muzyczny w Theater Aachen, Bochumer Philharmonic, National Arts Centre Orchestra w Ottawie (z którą odbył tournée w Ameryce Północnej, występując m. in. w Carnegie Hall) i w Narodowej Orkiestrze Symfonicznej Polskiego Radia w Katowicach.

Zadebiutował w 1974 spektaklem Otello G. Verdiego w Operze w Monachium. Później prowadził opery: Samson i Dalila C. Saint-Saënsa (Barcelona), Werther J. Masseneta (Opera Paryska) i Złoty kogucik N. Rimskego-Korsakowa (Théâtre du Châtelet). Do najważniejszych realizacji zalicza opery Mieczysława Weinberga Pasażerka (Warszawa) i Portret (Nancy), obydwie w reżyserii Davida Poutney’a oraz Lady Makbet mceńskiego powiatu D. Szostakowicza i Parsifal R. Wagnera (obie Teatr Wielki w Poznaniu).

Artysta nagrywał z London Symphony dla wytwórni DGG oraz z orkiestrami radiowymi w Berlinie i Monachium dla CBS. Nagrania symfonii Haydna z National Arts Centre Orchestra dla CBS, zostały uznane za „Best Choice” przez American Record Guide. Gabriel Chmura popularyzuje za granicą twórczość polskich kompozytorów. Wielkim sukcesem okazało się nagranie płyt z utworami Mieczysława Wajnberga, dla wytwórnią Chandos. W roku 2018 objął kierownictwo nad operą Richarda Wagnera „Śpiewacy norymberscy” (Teatr Wielki w Poznaniu). Opera została zaprezentowana w Polsce pierwszy raz od ponad stu lat, dzięki czemu poznańska realizacja zyskała międzynarodowy rozgłos.

Od 2015 roku Gabriel Chmura jest pierwszym gościnnym dyrygentem Filharmonii Krakowskiej, a od sezonu 2012/2013 pełni obowiązki dyrektora artystycznego Teatru Wielkiego w Poznaniu.